cho a,b,c là các số duongwthoar mãn điều kiện:
5a^2 +2abc+ 4b^2+ 3c^2 =60
tìm GTLN của biểu thức A=a+b+c
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
HN
1
HT
22 tháng 7 2015
bạn chuyển về dạng pt bậc 2 rồi giải: 4b2 + 2abc + 5a2 + 3c2 - 60 = 0 . giải beta = (az)2 - 4( 5a2 + 3c2 - 60) = (-a2 + 12)(-c2 +20) > 01
\(b_1=\frac{-a^2+\sqrt{\left(-a^{2^{ }}+12\right)\left(-c^{2^{ }}+20\right)}}{4}\)\(\le\)..... \(\frac{3c-\left(a+c\right)^2}{8}\).
tương tự giải đối với a, c .. Suy ra : a+b+c\(\le\)\(\frac{35-\left(b+c\right)^2+10\left(b+c\right)}{10}\)= \(\frac{-t^2+10t+35}{10}\)=\(\frac{60-\left(t^2-10t+25\right)^{ }}{10}\)=\(\frac{60-\left(t-5\right)^2}{10}\)=\(\frac{60-\left(b+c-5^{ }\right)^2}{10}\)\(\le\)\(\frac{60}{10}=6\).Dấu bằng xảy ra\(\Leftrightarrow\) b +c - 5 = 0 và 15- b2 = 20 - c2
\(\Leftrightarrow\)a=1,b= 2, c= 3.
NN
16 tháng 10 2020
Bài 2 :
\(x^2+xy-2013x-2014y-2015=0\)
\(\Leftrightarrow x^2+xy-2014x-2014y+x-2014-1=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2+xy\right)-\left(2014x+2014y\right)+\left(x-2014\right)=1\)
\(\Leftrightarrow x\left(x+y\right)-2014\left(x+y\right)+\left(x-2014\right)=1\)
\(\Leftrightarrow\left(x-2014\right)\left(x+y\right)+\left(x-2014\right)=1\)
\(\Leftrightarrow\left(x-2014\right)\left(x+y+1\right)=1\)
Vì x, y là số nguyên dương \(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x-2014\inℤ\\x+y+1\inℤ\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\)\(x-2014\)và \(x+y+1\)là ước của 1
Lập bảng giá trị ta có:
| \(x-2014\) | \(-1\) | \(1\) |
| \(x+y+1\) | \(-1\) | \(1\) |
| \(x\) | \(2013\) | \(2015\) |
| \(y\) | \(-2015\) | \(-2015\) |
Vậy các cặp giá trị \(\left(x;y\right)\)thỏa mãn đề bài là \(\left(2013;-2015\right)\)hoặc \(\left(2015;-2015\right)\)
16 tháng 10 2020
\(GT\Leftrightarrow5a^2+2abc+\left(4b^2+3c^2-60\right)=0\). (*)
\(\Delta'=\left(bc\right)^2-5\left(4b^2+3c^2-60\right)=b^2c^2-20b^2-15c^2+300=\left(b^2-15\right)\left(c^2-20\right)\).
Ta có a, b, c > 0 nên \(4b^2< 60;3c^2< 60\Rightarrow b^2< 15;c^2< 20\).
Do đó \(\Delta'>0\).
Vì a là nghiệm dương của (*) nên: \(a=\frac{\sqrt{\left(15-b^2\right)\left(20-c^2\right)}-bc}{5}\le_{AM-GM}\frac{15-b^2+20-c^2-2bc}{10}=\frac{30-\left(b+c\right)^2}{10}\)
\(\Rightarrow a+b+c\le\frac{30+10\left(b+c\right)-\left(b+c\right)^2}{10}=\frac{55-\left(b+c-5\right)^2}{10}\le\frac{11}{2}\).
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi b = 2; c = 3; a = 0,5.
5 tháng 3 2020
Cho a,b,c là các số thực dương:
Chứng minh rằng: a2+b2+c2+2abc+1≥2(ab+bc+ca)a2+b2+c2+2abc+1≥2(ab+bc+ca)
Ta thấy trong ba số thực dương a;b;ca;b;c luôn tồn tại hai số cùng lớn hơn hay bằng 11 hoặc nhỏ hơn hay bằng 11. Giả sử đó là bb và cc.
Khi đó ta có: (b−1)(c−1)≥0⇔bc≥b+c−1(b−1)(c−1)≥0⇔bc≥b+c−1 suy ra 2abc≥2ab+2ac−2a2abc≥2ab+2ac−2a
Do đó, a2+b2+c2+2abc+1≥a2+b2+c2+2ab+2ac−2a+1a2+b2+c2+2abc+1≥a2+b2+c2+2ab+2ac−2a+1
Nên bây giờ ta chỉ cần chứng minh: a2+b2+c2+2ab+2ac−2a+1≥2(ab+bc+ca)a2+b2+c2+2ab+2ac−2a+1≥2(ab+bc+ca)
⇔(a2−2a+1)+(b2+c2−2bc)≥0⇔(a−1)2+(b−c)2≥0⇔(a2−2a+1)+(b2+c2−2bc)≥0⇔(a−1)2+(b−c)2≥0 (đúng)
Bài toán được chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1a=b=c=1.
23 tháng 5 2021
Ta có:
sigma \(\frac{ab}{3a+4b+5c}=\) sigma \(\frac{2ab}{5\left(a+b+2c\right)+\left(a+3b\right)}\le\frac{2}{36}\left(sigma\frac{5ab}{a+b+2c}+sigma\frac{ab}{a+3b}\right)\)
Ta đi chứng minh: \(sigma\frac{ab}{a+b+2c}\le\frac{9}{4}\)
có: \(sigma\frac{ab}{a+b+2c}\le\frac{1}{4}\left(sigma\frac{ab}{c+a}+sigma\frac{ab}{b+c}\right)=\frac{1}{4}\left(a+b+c\right)=\frac{9}{4}\)
BĐT trên đúng nếu: \(sigma\frac{ab}{a+3b}\le\frac{9}{4}\)
Ta thấy: \(sigma\frac{ab}{a+3b}\le\frac{1}{16}\left(sigma\frac{ab}{a}+sigma\frac{3ab}{b}\right)=\frac{1}{16}\)( sigma \(b+sigma3a\)) \(=\frac{1}{4}\left(a+b+c\right)=\frac{9}{4}\)
\(\Leftrightarrow sigma\frac{ab}{3a+4b+5c}\le\frac{1}{18}\left(5.\frac{9}{4}+\frac{9}{4}\right)=\frac{3}{4}\)(1)
MÀ: \(\frac{1}{\sqrt{ab\left(a+2c\right)\left(b+2c\right)}}=\frac{2}{2\sqrt{\left(ab+2bc\right)\left(ab+2ca\right)}}\ge\frac{2}{2\left(ab+bc+ca\right)}\)
\(=\frac{3}{3\left(ab+bc+ca\right)}\ge\frac{3}{\left(a+b+c\right)^2}=\frac{3}{9^2}=\frac{1}{27}\)(2)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow T\le\frac{3}{4}-\frac{1}{27}=\frac{77}{108}\)
Vậy GTLN của biểu thức T là 77/108 <=> a=b=c=3
UK
12 tháng 8 2017
1) \(P=\left(a+2b+3c\right)\left(6a+3b+2c\right)\)
\(P=\left[a+2b+3\left(1-a-b\right)\right]+\left[6a+3b+2\left(1-a-b\right)\right]=\left(3-2a-b\right)\left(2+4a+b\right)=2\left(3a-2b-b\right)\left(1+2a+\dfrac{b}{2}\right)\)
Lợi dụng AM-GM, ta có:
\(P\le2\left(\dfrac{3-2a-b+1+2a+\dfrac{b}{2}}{2}\right)^2=2.\left(\dfrac{4-\dfrac{b}{2}}{2}\right)^2=8\)
MaxP=8 khi \(a=c=\dfrac{1}{2};b=0\)
